Wydawałoby się, że zero to sprawa prosta – ot, nic. Tymczasem w matematyce, zwłaszcza w naszym kręgu kulturowym, przez długi czas zera nie było. – Grecy nicości się bali, dlatego zera nie znali i nie chcieli znać – mówi fizyk matematyczny dr Tomasz Miller z Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych UJ. – Włączenie tej nicości w poczet liczb takich samych jak 1, 2 czy 3 to już był bardzo duży skok myślowy – dodaje. Rozmawiamy o historii liczb.

Zero jako liczbę, na której można dokonywać działań arytmetycznych, wymyślono mniej więcej w I wieku naszej ery niezależnie w dwóch miejscach na świecie: w Azji (tu stosowali je Hindusi) oraz w Ameryce Południowej, w cywilizacji Majów. W Europie długo zero nie występowało. System cyfr hindusko-arabskich, z których korzystamy do dziś, pojawił się w Europie w XIII wieku, początkowo wcale nie wśród matematyków, lecz wśród kupców. Na dobre przyjął się u nas dopiero w XVI wieku.

Matematyka powstała jako narzędzie bardzo powiązane ze światem fizycznym, czyli sposób rozliczania rzeczywistych obiektów. Im bardziej stawała się złożona, tym bardziej oddalała się od fizycznego rozumienia przedmiotów. – Liczby to są pewne abstrakcyjne obiekty, które mają swoje własności – mówi dr Miller. Mamy więc liczby całkowite (dodatnie i ujemne), mamy liczby wymierne (np. 1/2), niewymierne (np. liczba π). Liczby całkowite, wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych, a to dopiero początek tego, czym mogą się zajmować matematycy. A przecież są jeszcze wszystkie liczby urojone czy zespolone (połączenie liczby rzeczywistej z urojoną), które są niezbędne w mechanice kwantowej, a przy okazji upraszczają trygonometrię.

Można więc zaryzykować twierdzenie, że gdyby nie kupcy dbający o swoje interesy, nie byłoby nowoczesnej fizyki!

W odcinku usłyszycie też, jaka cywilizacja liczyła w systemie dwudziestkowym, a jaka w sześćdziesiątkowym, czy liczby niewymierne byłyby bardziej wymierne, gdybyśmy liczyli w systemie innym niż dziesiątkowy (niestety nie), na czym polegały pojedynki renesansowych matematyków (bywało ostro) i dlaczego jako ludzkość przyjęliśmy zasadę, że nie dzieli się przez zero.

TRANSKRYPCJA

Karolina Głowacka: W studio Radia Naukowego dr Tomasz Miller, dzień dobry.

Tomasz Miller: Dzień dobry.

K.G.: Ponownie, druga wizyta w Radiu Naukowym i coś myślę, że nie ostatnia. Fizyk matematyczny, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych Uniwersytetu Jagiellońskiego. Od razu wam opowiem króciutko o takiej książce, która bardzo pasuje do naszego dzisiejszego odcinka. Będziemy rozmawiać o liczbach. Jest to temat dużo bardziej złożony, niż by się na pierwszy rzut oka wydawało. I ja pamiętam taką książkę właśnie przez Copernicus Center Press wydaną kilka lat temu i one zawsze była na mojej półce, ale zniknęła. I chyba wiem czemu, ponieważ nazywa się „Książka o niczym”.

T.M.: Tak, tak.

K.G.: Ty też ją miałeś albo masz, bo też zniknęła.

T.M.: Tak, też właśnie jej szukałem, przygotowując się do dzisiejszej rozmowy, i też nie mogłem jej znaleźć, więc chyba po prostu scaliła się ze swoją tematyką. To jest właśnie książka o historii pojęcia nicości, o historii zera. No i o tym myślę też dzisiaj pogadamy.

K.G.: Też pogadamy. Bardzo wam polecamy tę książkę, bo chociaż zniknęła z naszych półek, to pamiętamy, że bardzo dobra Johna Barrowa ta książka. Jak mówisz w serii swoich wykładów o liczbach właśnie na kanałach Copernicusa, to jak ja teraz tutaj narysuję 5… Słychać, że rysuję? Słychać. To ty mi powiesz, że to wcale nie jest 5.

T.M.: To wcale nie jest 5, tak.

K.G.: No przecież widzę, że jest 5.

T.M.: Tak, ale to ja lubię tutaj przywoływać, jest taki słynny obraz René Magritte’a, takiego surrealisty francuskiego, na którym jest fajka namalowana i jest też napis na tym obrazie Ceci n’est pas une pipe, to nie jest fajka. No i też mogłabyś powiedzieć: no jak to nie jest fajka, co ten René? No przecież to jest fajka, ale jemu chodziło właśnie o to, żeby odróżnić obraz jakiegoś obiektu od samego obiektu. I cyfra 5 jest tylko pewną reprezentacją tego abstrakcyjnego pojęcia matematycznego, jaką jest liczba 5. I zresztą ty tutaj użyłaś cyfry arabskiej, czyli tak naprawdę hinduskiej, którymi się dzisiaj posługujemy. To Arabowie przejęli od Hindusów, trochę rozwinęli, no i my później, Europejczycy, przejęliśmy właśnie od Arabów, i całe szczęście.

K.G.: Swoją drogą widziałam taką sondę uliczną: czy jest pan/pani za tym, żeby w polskich szkołach nauczać liczb arabskich, no i część osób się oburzała.

T.M.: No tak znaczy, no właśnie… To znaczy nazwa, jak tam zwykle w matematyce, jest nie do końca poprawna, powinno się mówić o liczbach hindusko-arabskich, no ale te cyfry tak zwane arabskie to nie są wcale cyfry używane obecnie w krajach arabskich, które właśnie wyglądają bliżej do tych swoich X czy XI-wiecznych oryginałów, których faktycznie wtedy Arabowie używali.

K.G.: Zacznijmy od zera, czemu nie.

T.M.: Zacznijmy od zera.

K.G.: Ta książka Barrowa o odkrywaniu właśnie pojęcia nicości czy zera też mi bardzo otworzyła wtedy oczy, bo nie przyszło mi do głowy przed lekturą tej książki, że zero mogło być kłopotliwe, a było przez bardzo długi czas. To znaczy trudno nam teraz sobie wyobrazić funkcjonowanie bez zera, żeby skutecznie i klarownie zapisywać różne liczby, a wcześniej to zero nie występowało.

T.M.: No to jest jeden z takich największych, powiedziałbym, skoków myślowych chyba w historii matematyki, który umożliwił późniejsze dalsze skoki, ale jak się tak nad tym głębiej zastanowić, to wcale nie jest takie zaskakujące, że ludzie mieli z tym problem. No bo nawet jak mówimy czy myślimy o liczbie, czy jak w ogóle dowiadujemy się, co to są liczby w szkole tam podstawowej czy jeszcze w przedszkolu, no to co to są liczby? To są takie pojęcia, które służą do mówienia, ile czegoś jest. Do odróżniania, czy tam klocków jest więcej czy mniej, więcej o 1, więcej o 2. Najpierw liczby pojawiają się w naszym życiu jako liczebniki. No ale skoro liczby opisują, ile czegoś jest, no to jeśli nic nie ma, no to to już nie jest liczba, no bo niby jak nicość ma być czymś tym samym co coś, co tą nicością nie jest? Nawet to, że trudno to wysłowić w jakimś sensownym logicznie zdaniu już pokazuje, że jest tu problem. I rzeczywiście znakomita większość starożytnych cywilizacji, w wypadku Europejczyków to nawet już nie tylko starożytnych, bo jeszcze średniowiecznych, miała z tym ogromny problem, żeby uznać brak za coś tej samej natury co 1, 2, 3, 4 obiekty czy jakąkolwiek inną niezerową liczbę tych obiektów. Liczba 0 do Europy w ogóle przyszła skądinąd, to nie był wynalazek europejski.

K.G.: Ale zdaje się, że 0 nie było wynalezione raz, tylko niezależnie w różnych miejscach.

T.M.: To prawda, przynajmniej niezależnie dwa razy powstało. Zacznijmy od tego, że w ogóle gdy mówimy o zerze, to trzeba rozgraniczyć pomiędzy przynajmniej trzema różnymi rozumieniami tego, czym jest zero. Bo czym innym jest 0 jako cyfra w systemie pozycyjnym, czyli ten znaczek, który na przykład odróżnia liczbę 102 od liczby 12, tak? To, że to 0 tam jest, ono oznacza, że to są diametralnie różne liczby. Oznacza, że te jedynkę w tej liczbie 102 trzeba interpretować jako cyfrę setek, a nie dziesiątek. I takie zero zostało odkryte już bardzo, bardzo dawno temu. Już Babilończycy się takim zerem posługiwali na początku, jak pisali w tym swoim klinowym piśmie liczby, to już zostawiali po prostu puste miejsce na zasygnalizowanie, że no właśnie 102 to nie jest to samo, co 12.

K.G.: Ale to kłopotliwe, bo się można pomylić, nie? Czy w interpretacji na przykład, czy tam jest to puste miejsce, czy nie ma?

T.M.: Ale chyba problem nie był zbyt duży, skoro właśnie przez długi czas się tym nie przejmowano. Jakby z kontekstu chyba zawsze było wiadomo, o co chodzi. Raczej było wiadomo, że jak tam było napisane właśnie 1 2, to nie chodzi o 12000 kóz, tylko o 12. W ogóle też może warto wspomnieć, że matematyka zaczęła się tak naprawdę od księgowości, gdzie zliczano ile kto ma kóz, krów czy innych zwierząt hodowlanych czy płodów rolnych. Więc to jest jedno rozumienie w ogóle zera, takie niezbyt kłopotliwe, po prostu forma zapisu jakichś liczb niezerowych. Drugie znaczenie słowa zero to jest sygnalizowanie, że czegoś w ogóle nie ma. Czyli na przykład nie wiem, jeśli ktoś nie miał żadnej tej kozy, no to w tej rubryczce tego babilońskiego skryby w księgowości, no to tam pojawiał się, albo się nawet nie pojawiał, bo to też było puste miejsce, ale w każdym razie jakoś trzeba było zaznaczyć, że ten człowiek w ogóle tych kóz nie ma. To jest drugie znaczenie zera i to jeszcze nie jest taka pełnoprawna liczba. Tutaj wciąż można rozgraniczać, że to, że ten ktoś nie ma kóz, to nie oznacza, że ma jakąś liczbę kóz. Trzecie znaczenie zera, już takie pełnoprawne, 0 jako właśnie taka prawdziwa, bona fide liczba, którą można dodawać, przez którą można mnożyć, na której można wykonywać operacje arytmetyczne. I włączenie tej nicości, tego braku właśnie w poczet liczb takich samych jak 1, 2 czy 3 to to już był bardzo duży skok myślowy, który niezależnie, o ile wiemy, odbył się w starożytnych Indiach, mniej więcej w pierwszych wiekach pierwszego tysiąclecia. I zupełnie niezależnie, bo nie było absolutnie żadnego kontaktu, o ile wiemy, pomiędzy Indiami a tym drugim miejscem. Tym drugim miejscem był półwysep Jukatan, cywilizacja Majów, którzy też gdzieś tam na przełomie R mniej więcej już do obliczeń kalendarzowych i astronomicznych wynaleźli rzeczywiście 0 jako taką pełnoprawną liczbę. Tam gdzieś czytałem, że być może nawet 0 jako liczba była znana już wcześniej przez cywilizację, która była przed Majami. To była taka tajemnicza cywilizacja Olmeków, no ale w każdym razie wiemy, że Majowie już zerem się posługiwali, też mieli na nie specjalny symbol i to była pełnoprawna liczba, wykonywali na niej operacje, a nie tylko wykorzystywali ją, żeby zaznaczać, że to nie jest 12, tylko 102, i nie tylko po to, żeby zaznaczyć, że ktoś nie ma tych kóz czy co tam się hodowało w tej Gwatemali.

K.G.: A Chińczycy?

T.M.: Tak, rzeczywiście Chińczycy też posługiwali się zerem, przy czym o ile wiem, u nich to nie była do końca taka pełnoprawna liczba. Chińczycy, co warto podkreślić, już równocześnie z Hindusami, a może trochę wcześniej, posługiwali się liczbami ujemnymi. Ale czy oni traktowali 0 jako taką pełnoprawną liczbę, tego pewien nie jestem. Na pewno Hindusi byli pierwsi z używaniem specjalnego symbolu na 0, a nie tylko pustego miejsca, bo u Chińczyków tam aż do późnego średniowiecza, gdzie dopiero wtedy się tam kółeczko pojawiło, to jednak było puste miejsce, a nawet jeśli ci Chińczycy posługiwali się zerem, to tutaj już nie byłbym taki pewien, że wynaleźli je niezależnie, bo jednak przepływ idei pomiędzy starożytnymi Indiami i Chinami następował.

K.G.: Jasne. A mówiłeś o tym, że w Europie zero pojawiło się dość późno, czyli kiedy mniej więcej?

T.M.: Po raz pierwszy chyba tak poważnie ten hinduski system liczbowy przekazany przez Arabów dotarł do Europy pod koniec X wieku. Okazuje się, że taki uczony Gerbert z Aurillac, późniejszy papież Sylwester II, już właśnie promował w swoich pismach wykorzystanie tego systemu pozycyjnego hindusko-arabskiego, bo on był po prostu lepszy niż stosowany wtedy w Europie system rzymski, cyfry rzymskie. No ale przez to, że on tam miał jakieś swoje papieskie obowiązki, no to to się jakoś nie przyjęło. Potem dopiero na początku XIII wieku próbował też rozreklamować nawet nie tyle wśród uczonych, co wśród kupców, wynalazek tych cyfr arabskich czy hindusko-arabskich matematyk włoski Leonard Fibonacci. I rzeczywiście kupcy stopniowo zaczęli to adaptować, bo po prostu się wygodnie za pomocą tego liczyło, nawet nie trzeba było używać liczydła, bo można było wykonywać obliczenia na papierze, chociaż wtedy papier to pewnie był droższy niż liczydła, to może i tak liczydła dalej były w użyciu. Ale to i tak nie było na takiej zasadzie, że właśnie ktoś napisał traktat, w którym pokazał: o, tak się można posługiwać tymi liczbami, one są lepsze i nagle wszyscy przeszli na ten nowy system. To trwało dalszych kilkaset lat i chyba na dobre ten system arabsko-hinduski wśród uczonych europejskich to przyjął się gdzieś w pierwszej połowie XVI wieku dopiero.

K.G.: To strasznie późno.

T.M.: Strasznie późno, tak. Ale niektóre idee w matematyce dojrzewają nawet czasami jeszcze dłużej.

K.G.: To może tak cię zapytam: czy 0 jest liczbą naturalną? Bo to podobno kontrowersja.

T.M.: Znaczy to nie jest kontrowersja wśród matematyków, powiedziałbym, to nie ma takiego fundamentalnego znaczenia. W niektórych działach matematyki wygodnie przyjąć, że 0 jest liczbą naturalną, a w innych wygodnie przyjąć, że nie jest liczbą naturalną, i to nie prowadzi do żadnych nieporozumień. To znaczy trzeba tylko na początku wyraźnie zaznaczyć, żeby potem się nie myliło. Ale to nie jest tak, że są, że matematyka jest podzielona na dwa obozy i że jakaś, nie wiem, zupełnie inna jest ta matematyka, gdy uznamy sobie, że 0 jest liczbą naturalną, czy nie. Proszę pamiętać, że dużo w matematyce jednak mimo wszystko jest konwencji. Może żeby też nie być gołosłownym, no to na przykład w teorii mnogości, w teorii zbiorów, no to wygodnie przyjąć, że 0 jest liczbą naturalną. No bo jeśli się umówimy, że zbiory skończone, czyli takie, które mają skończenie wiele elementów, że liczba ich elementów zawsze jest liczbą naturalną, no to ponieważ istnieje coś takiego jak zbiór pusty, no to 0 też musimy wliczyć w poczet liczb naturalnych. No bo właśnie liczba elementów zbioru pustego to jest 0. No ale znowu nie wiem, w kombinatoryce czy w teorii liczb pewnie włączanie zera w poczet liczb naturalnych sprawiałoby, że niektóre twierdzenia by brzmiały trochę pokracznie, bo trzeba by wtedy mówić, że na przykład każdą liczbę naturalną poza zerem da się rozłożyć na czynniki pierwsze. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Tutaj wygodnie przyjąć, że 0 nie należy doliczyć naturalnych, bo wtedy to twierdzenie jest trochę krótsze.

K.G.: A dlaczego, wybacz, że takie szkolne pytanie, ale wyjaśnijmy to może raz na zawsze: dlaczego nie można dzielić przez 0?

T.M.: Tak, dobre pytanie. Bo no właściwie dlaczego miałoby się nie dać, przecież w matematyce jak sobie coś zdefiniuję, no to już, to mogę sobie zdefiniować, jak chcę, wszystko mi wolno. No i tutaj warto zacytować świętego Pawła, że w matematyce… To znaczy „w matematyce” to nie było w tym cytacie, ale że wszystko wolno, ale nie wszystko przynosi korzyść. Więc jak sobie przyjmiemy, że można dzielić przez 0 i sobie na przykład przyjmiemy, że nie wiem, 0 przez 0 albo 1 przez 0 to jest 0 – wolno nam, papier przyjmie wszystko. Tylko musimy się teraz zmierzyć z logicznymi konsekwencjami takiej definicji. Okaże się bardzo szybko, jak troszeczkę sobie zaczniemy teraz tutaj wykorzystywać takie podstawowe własności mnożenia czy dzielenia, no to zaraz bardzo szybko dojdziemy do wniosku, że jakieś sprzeczności nam wyskoczą. Dlaczego? No na przykład dobra, przyjmijmy, że 1 przez 0 to jest, nie wiem, 1. No ale co to znaczy w ogóle 1 przez 0? To jest taka liczba, którą jak pomnożymy przez mianownik, czyli w tym wypadku przez 0, to dostaniemy 1. No a gdybyśmy przyjęli, że 1 przez 0 to jest, nie wiem, 2, no to to by oznaczało, że 2 × 0 = 1. No, już teraz musimy się zmierzyć z logiczną konsekwencją tej naszej decyzji. Aha, czyli teraz musimy przyjąć, że 2 × 0 to jest 1. No ale zaraz okaże się, że jak tak zdefiniujemy sobie mnożenie przez 0, to mnożenie przestanie być łączne albo przestanie być rozdzielne względem dodawania, dostaniemy coś co już nie będzie zasługiwało na nazwę mnożenia. Więc owszem, możemy sobie zdefiniować, tylko potem musimy mierzyć się z konsekwencjami tych działań. No i raczej te konsekwencje są na tyle odstręczające, że dużo rozsądniej jest po prostu przyjąć, że dzielenie przez 0 jest niezdefiniowane.

K.G.: No bo kiedy się o tym pomyśli tak bardzo użytkowo, bo mówiłeś o tym, że matematyka w zasadzie, może bardziej zapis liczbowy, brał się z księgowości. No to weźmy sobie te 5 kóz, nie? No i jeśli musimy je podzielić przez 5 braci, no to każdy dostanie po jednej kozie, to mniej więcej wiadomo. Jeśli jest tylko jeden syn, no to odziedziczy 5 tych kóz, tak? A jeśli nie ma żadnego syna, no to wydawałoby mi się, że dalej wynik wynosi 5, nie? No bo nie ma nikogo do podziału, ale te kozy, że tak powiem, są.

T.M.: Tak, to jest zrozumiałe. Nawet taka definicja, jaką ty podałaś, to możliwe, że się pojawiła w którymś momencie. Wspomniałem, że 0 po raz pierwszy jako taka pełnoprawna liczba no to w starożytnych Indiach się pojawiła. I rzeczywiście to był taki mędrzec uczony hinduski Brahmagupta, który chyba żył w VII wieku, i on, o ile wiemy, był pierwszym, który właśnie podał, jak należy wykonywać działania nie tylko na liczbach ujemnych, ale też właśnie na zerze. On powiedział, że na przykład mnożenie dwóch liczb ujemnych to powinno dać liczbę dodatnią. Powiedział, że mnożenie dowolnej liczby przez 0 powinno dać 0. No ale gdy doszedł właśnie do problemu dzielenia przez 0, to tak widać z tego jego pisma, że on się z tym zmagał, że on się tak wahał trochę, jak to zdefiniować. No ale jakoś chciał to zdefiniować. No i być może właśnie myśląc w kategoriach takich użytkowych, doszedł na przykład do wniosku, że 0 przez 0 to jest 0. Potem przyszedł taki drugi wielki mędrzec hinduski Mahawira, który stwierdził nie, nie, nie, Brahmagupta się pomylił z tym zerem, to trzeba inaczej. Inaczej zdefiniował to dzielenie przez 0, chociaż no też widać, że się zmagał. Bo potem przyszedł jeszcze jakiś trzeci mędrzec, Baskara, który jeszcze inaczej to zdefiniował, a może on już wreszcie uznał, że po prostu to jest wielkość niezdefiniowana, jak jakbyśmy dzisiaj powiedzieli.

K.G.: No tak powiedział kalkulator w moim telefonie, bo aż sprawdziłam: 5 przez 0 niezdefiniowane.

T.M.: Tak się to obecnie definiuje, bo dzisiaj może też warto to podkreślić, zresztą do tego byśmy doszli prędzej czy później, nawet liczby naturalne już dawno wykroczyły poza swoje takie pierwotne zastosowanie do zliczania elementów jakichś małych zbiorów. Liczby z takiego dzisiejszego matematycznego punktu widzenia, one nie muszą oznaczać wręcz niczego w fizycznym świecie. To są pewne abstrakcyjne obiekty, które mają jakieś tam swoje własności, na których można wykonywać pewne operacje, no i znowu: jak już sobie przyjmiemy jakiś zestaw reguł gry w liczby, no to już musimy mierzyć się z wszystkimi konsekwencjami takiego wyboru. No i okazuje się, że najbardziej taki płodny i użyteczny system wolny od sprzeczności uzyskamy wtedy, gdy po prostu zostawimy kwestie dzielenia przez 0 na boku. W sensie przyjmiemy, że tego się po prostu nie da zrobić, że to jest niezdefiniowane. Po prostu dzielenie jest takim działaniem częściowym. Nie jest zdefiniowane dla wszystkich liczb naturalnych czy całkowitych, czy jakichkolwiek. I to wręcz ma swoje też odzwierciedlenie w bardziej zaawansowanych jeszcze strukturach matematycznych, gdzie po prostu element zerowy nie ma elementu odwrotnego. Jak ktoś chce brzmieć mądrze, to może tak to podsumować.

K.G.: To jest w ogóle bardzo ciekawe, bo kiedy się zaczyna być bardzo konsekwentnym w myśleniu, a tak robią naukowcy, uczeni, kiedy zaczyna się różne rzeczy definiować, to właśnie zaczynają się piętrzyć trudności i muszę przyznać, że bardzo mnie zaskoczyło, to też usłyszałam w twoich wykładach, że coś tak podstawowego, naturalnego jak liczby naturalne zostało zdefiniowane 130 lat temu, coś takiego? Przez pana Peano.

T.M.: Tak. To znaczy, zdefiniowane… Samo pojęcie, co to znaczy, że w matematyce coś jest porządnie, rygorystycznie zdefiniowane, to też ewoluowało z czasem. Aż do XIX wieku wydawało się, że matematykę można uprawiać zupełnie rygorystycznie bez jakiegoś takiego bardzo wnikliwego dzielenia włosa na czworo, mówienia, czym są te liczby naturalne. To były obiekty na tyle proste i elementarne…

K.G.: Intuicyjne.

T.M.: Intuicyjne, że no nie trzeba było ich już definiować. One zresztą jakoś były też zakorzenione w geometrii, która była zaksjomatyzowana od starożytności przez Euklidesa, tak? Można było przyjąć, że liczba 1 to jest, można sobie ją wyobrażać jako taki odcinek długości 1, wtedy 2 to będzie po prostu sklejony ten odcinek długości 1 ze swoją kopią, jakby na tym liczby budować niejako na pojęciach geometrycznych. No ale w XIX wieku ten fundament matematyki całej, czyli ta geometria euklidesowa, zaczął się chwiać. Nagle okazywało się, że to wcale nie jest takie ścisłe. Okazywało się, że pewnych bardzo intuicyjnych i oczywistych, wydawać by się mogło, twierdzeń geometrycznych nie da się udowodnić na gruncie aksjomatów, postulatów Euklidesa. I co więcej, odkryto właśnie wtedy, w pierwszej połowie XIX wieku, że w ogóle są możliwe inne geometrie niż geometria euklidesowa. Ta rewolucja po dosłownie kilkudziesięciu latach rozlała się na całą matematykę. Nagle matematycy ze zgrozą zdali sobie sprawę, że właśnie matematyka, która była takim wzorcem ścisłości, rygorystycznego definiowania, takiej zimnej, logicznej dedukcji, u swoich podstaw ma takie bardzo szemrane i chwiejne pojęcia. Więc trzeba było zakasać rękawy i spróbować to wszystko uporządkować, w tym uporządkować podstawy arytmetyki, samo pojęcie właśnie liczby naturalnej. Trzeba było je oprzeć na czymś innym, bardziej podstawowym, bardziej fundamentalnym niż geometria euklidesowa, która okazała się właśnie taka trochę wybrakowana. I sięgnięto po logikę oraz nowopowstałą wtedy teorię zbiorów. Do dziś właściwie matematyka na tym buduje, na tym się opiera i taką pierwszą porządną definicję właśnie liczb naturalnych, jak powiedziałaś, taki włoski matematyk Giuseppe Peano podał i do dziś się jej uczy, do dziś się ją stosuje.

K.G.: No bo mówiliśmy o tym, że liczby naturalne to są te liczby, z którymi się spotykamy od dziecka, tego się uczy w szkołach, to jest zupełnie naturalne. Mamy tutaj 2 kubki, 2 szklanki, 1 dzbanek, więc łatwo liczymy, że 5 naczyń. No i to jest tak naturalne, że aż trochę trudno mi sobie wyobrazić, co tutaj można definiować.

T.M.: Znaczy, wiesz, już w starożytności też było wiadomo, że oprócz liczb naturalnych, takich całkowitych, dodatnich, bo innych oczywiście wtedy nie znano, to jeszcze ułamki się przydają, prawda?

K.G.: Pół jabłka.

T.M.: Pół jabłka, pół kozy na przykład, to już może trochę mniej, ale no jak najbardziej też trzeba było dzielić. Trzeba było też posługiwać się wielkościami ułamkowymi już w starożytności. I Babilończycy tego potrzebowali, i Egipcjanie, Grecy też, więc też trzeba było wymyśleć jakąś notację dla liczb wymiernych, jak je dzisiaj nazywamy. No i też na tym nie koniec! Już w starożytności pitagorejczycy przeżyli wielki szok, gdy okazało się, że ułamki to też jeszcze nie wszystkie liczby. Wykraczamy nieco poza liczenie, ale właśnie też może warto tutaj zwrócić uwagę, że wbrew trochę nazwie liczby służą nie tylko do liczenia, ale też do mierzenia długości, pól. No też do obliczania różnych rzeczy. Nawet do etykietowania, liczby też pełnią rolę numerów. To oczywiście nie wyczerpuje, jak już wspomniałem, zastosowania liczb we współczesnej matematyce, ale trzymajmy się właśnie takich podstawowych zastosowań. Więc już właśnie ci pitagorejczycy w głębokiej starożytności zdali sobie ze zgrozą sprawę, że niektóre obiekty w geometrii, na przykład przekątna kwadratu o boku 1, nie wyraża się jako ułamek. To nie jest liczba postaci p/q. Jest to liczba niewymierna, dzisiaj ją oznaczamy jako √2. No i to był wielki szok dla ówczesnych, gdy właśnie udowodnił taki pitagorejczyk, według legendy miał na imię Hippazos z Metapontu, że liczby √2 nie da się przedstawić jako ułamka. To był szok, bo pitagorejczycy mieli taką głęboką filozofię, że wszystko jest liczbą rozumianą właśnie jako ułamek, jako taka wymierna proporcja. Legenda głosi, że byli tak przerażeni, że utopili tego biednego Hippazosa, żeby się to nie rozeszło po prostu i żeby sekta pitagorejczyków, bo to była taka sekta, żeby nie stracili wiary.

K.G.: Proszę bardzo, nie tylko inkwizycja różne rzeczy robiła, ale też starożytni Grecy, o których tak wierzymy w ich umiłowanie do mądrości. No, taka to historia.

T.M.: To były początki.

K.G.: OK. Ale ja bym chciała się dowiedzieć, kto zauważył właśnie potrzebę liczb ujemnych? Bo mówisz o tym, że to też nie było powszechne, ale z drugiej strony jeśli mówimy o tym, że matematyka bardzo była potrzebna gdzieś tam w księgowości, no to mi się wydaje, że te liczby ujemne też musiały się pojawić szybko. No bo kwestia długu jest dość powszechną rzeczą, nie?

T.M.: Tak, dokładnie stąd się wzięły liczby ujemne. To już właśnie Chińczycy do celów takich biznesowo-księgowościowych odróżnili liczby dodatnie od liczb ujemnych. Wiemy, że rzeczywiście je odróżniali, bo posługiwali się takimi specjalnymi patyczkami czy pałeczkami do liczenia, to się uczenie nazywa. Za ich pomocą właśnie układali w systemie takim pozycyjnym, dziesiątkowym kolejne cyfry. Nie sama liczba tych patyczków, tylko każdy układ specjalny tych patyczków to była właśnie jedna cyfra. I te pałeczki występowały w dwóch kolorach: czerwone oznaczały liczby dodatnie, czyli jakiś tam zysk, czyli stan posiadania taki in plus, a czarne oznaczały właśnie długi, jakieś straty. Więc oni to odróżniali. Wiedzieli, jak wykonywać działania arytmetyczne na liczbach ujemnych. Wiedzieli już, że iloczyn dwóch liczb ujemnych to liczba dodatnia, iloczyn liczby dodatniej przez ujemną to liczba ujemna. No wiedzieli to wszystko, czego się tam uczymy w pierwszych klasach podstawówki. No i też właśnie używali zera jako takiego pustego miejsca, chociaż czy oni traktowali 0 jako taką pełnoprawną liczbę, to tego nie wiem. To od nich przejęli też Hindusi, albo wynaleźli niezależnie, albo Hindusi… No w każdym razie tam ten przepływ idei następował. Więc tutaj problemu nie było, żeby interpretować liczby ujemne jako długi po prostu w takich rozliczeniach finansowych. No ale wciąż można się było spierać, czy to są jakieś nowego typu obiekty, tak już czysto filozoficznie się spierać, czy to są liczby dodatnie, tylko po prostu oznaczające co innego, oznaczające dług. Można było argumentować czy zastanawiać się, no, że to nie jest tak, że -1 jest mniejsze od 1, bo jak coś może być mniejsze od w ogóle zera?

K.G.: Niczego.

T.M.: Niczego. Ponieważ wtedy właśnie ludzie jednak tak bardzo…

K.G.: Fizykalnie rozumieli?

T.M.: Dokładnie tak, przykładali te wszystkie pojęcia matematyczne, wtedy wręcz nie było rozróżnienia pomiędzy fizyką czy matematyką. Jeśli jakiś obiekt matematyczny, jak byśmy dzisiaj powiedzieli, nie miał odzwierciedlenia w takiej namacalnej rzeczywistości, to już był bardzo podejrzany. I to zresztą, jak już też wspomniałem, w Europie to jeszcze było żywe takie spojrzenie jeszcze w XVI wieku, jeśli nawet nie później.

K.G.: I szczerze mówiąc, wszyscy poza matematykami mamy takie samo podejrzenie co do tych waszych obiektów.

T.M.: Tak, ja to doskonale rozumiem. Natomiast no właśnie chcę podkreślić, że matematyka… Nie chcę, żeby to źle zabrzmiało, ale matematyka już dawno wyrosła poza takie przyporządkowanie jeden do jednego, matematyka wyrosła ponad fizykę. Zajmuje się pojęciami abstrakcyjnymi, ale zajmuje się nimi dlatego, że historia dowiodła już wielokrotnie i dowodzi wciąż, że czasem, co jest całkowitym zaskoczeniem dla wszystkich, okazuje się, że te abstrakcyjne pojęcia rozwijane z czystej ciekawości albo z takich powodów czysto matematycznych, abstrakcyjnych, akademickich, okazują się być po prostu przydatne w takim zupełnie niespodziewanym miejscu. I z niektórymi egzotycznymi rodzajami liczb też tak zresztą było.

K.G.: Czyli w tym znaczeniu powinniśmy myśleć o matematyce jako, jak rozumiem, takim zbiorze reguł. I tutaj znowu podkradam twoje porównanie: tak samo jak można zniszczyć wszystkie fizyczne obiekty, pionki szachowe, tablice szachowe i tak dalej, ale szachy jako zbiór reguł będą istniały i są tacy ludzie, którzy mogą grać w głowie ze sobą i mówić „skoczek na B2”, tak? Czyli tak mamy myśleć o matematyce na przykład, jako o zbiorze reguł?

T.M.: Ja myślę, że to jest dobre porównanie, że właśnie szachy to nie jest to samo co szachownica i pionki, takie fizyczne obiekty. Partie możemy właśnie rozgrywać tak czysto w głowie, bez posługiwania się żadnymi fizycznymi obiektami, chociaż oczywiście jak ma się coś przed oczami, to jest wygodniej. I matematyka w pewnym sensie też jest właśnie taką grą, w której zaczynamy od jakichś reguł zwanych aksjomatami i jeśli już zgadzamy się, że przyjmujemy sobie właśnie takie aksjomaty, to teraz patrzymy, co z tego wynika. To oczywiście jest takie ahistoryczne patrzenie na matematykę w tym momencie, bo oczywiście te pojęcia matematyczne to one nie brały się tak po prostu z kosmosu, tylko jednak właśnie pierwotnie oznaczały liczbę kóz czy tam jakichś innych płodów rolnych, prawda? Czy długi, jeśli mówimy o liczbach ujemnych, czy jakieś hinduskie pojęcie nicości, bo stąd, z takiej filozoficznej myśli, wzięło się 0 u Hindusów i być może dlatego nie wzięło się w kulturze europejskiej czy jakiejś innej, że tam po prostu inaczej ludzie patrzyli na nicość. Grecy nicości się bali, dlatego zera nie znali i nie chcieli znać. Ale z czasem te pojęcia, które przychodzą do matematyki ze świata fizycznego, one ulegają takiej stopniowej emancypacji, wyrafinowaniu. Już możemy definiować nowe pojęcia matematyczne, które jakoś tam wyrastają z wcześniejszych pojęć matematycznych, możemy tak abstrahować, wspinać się na kolejne piętra abstrakcji. To jest ciekawe, gra się robi coraz ciekawsza, intryga się zagęszcza, ale robimy to, jak już wspomniałem, nie tylko z takiej ciekawości i satysfakcji gracza, który wynalazł jakiś niesamowity ruch w tych szachach, tylko po to, że po prostu okazuje się to przydawać w fizyce i w innych dziedzinach nauki.

K.G.: W ogóle rozjeżdża się gdzieś to myślenie niematematyków i matematyków, tak mi się wydaje, właśnie w tym momencie, kiedy nie da się tych różnych działań, obliczeń przełożyć na język naturalny, tak powiedzmy. No bo załóżmy, że pożyczyłam od ciebie 5 kóz. Trzymajmy się tych kóz. Więc dość jasne jest to, że mamy minus 5, że ty masz minus 5 kóz, przepraszam. Ale oddałam ci 2, no to mamy to -5 + 2 równa się -3, na minusie masz 3 kozy. To jest jasne, nie? I to wszystko nie ma problemu, ale co to ma znaczyć -1 × -2 na przykład? Do czego to można przyłożyć? Dlaczego znikają te minusy? Mam wrażenie, że już na tym poziomie zaczyna się to rozjeżdżać.

T.M.: Tak, rzeczywiście nie można tak łatwo stwierdzić, co by to w ogóle miało znaczyć, że ja mnożę -1 kozę czy ten dług 1 kozy przez dług 2 kóz. Tutaj już się rzeczywiście sprawa robi trochę bardziej subtelna, ale można na to spojrzeć tak: jak mamy liczby naturalne, takie zwykłe, dodatnie, i sobie właśnie definiujemy działania dodawania i mnożenia, które mają dobrze określone takie namacalne znaczenia, że na przykład, nie wiem, 4 × 5, no to układam sobie 4 ziarenka poziomo, 5 pionowo.

K.G.: W 5 rzędach.

T.M.: W 5 rzędach, tak, no i żeby szybko policzyć, ile ich mam wszystkich razem, no to mnożenie tutaj jest tym działaniem, które trzeba zrobić. Jak się dowiadujemy w szkole i łatwo możemy sami odkryć, działania mnożenia i dodawania spełniają pewne fajne własności. Na przykład są przemienne, są łączne, a także, co będzie istotne za chwilę, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Przypominam, co to znaczy: a × (b + c), gdzie b + c jest w nawiasie, to jest to samo co a × b dodać a × c. To jest rozdzielność mnożenia względem dodawania. No i gdy chcemy teraz uogólnić działania arytmetyczne, na przykład mnożenie, na liczby ujemne, no to chcielibyśmy jednak uogólnić to w ten sposób, żeby te fajne własności dalej obowiązywały. To jest jakby taki naturalny sposób rozszerzania tych podstawowych pojęć arytmetycznych na szerszy zbiór liczb. No i okazuje się, że jeśli tak rozszerzymy działanie mnożenia, żeby dalej było rozdzielne względem dodawania, żeby dalej było przemienne, żeby dalej mnożenie przez 1 nic nie zmieniało, tak, żeby 1 była elementem neutralnym tak zwanym mnożenia, to dojdziemy do wniosku, że właśnie iloczyn dwóch liczb ujemnych musi być dodatni. Gdyby to nie było radio, to mógłbym tutaj jakiś taki dowodzik na tablicy strzelić. Ale no jest to do pewnego stopnia arbitralna decyzja, tak? Moglibyśmy sobie zdefiniować, że mnożenie dwóch liczb ujemnych to jest liczba ujemna. No tyle tylko, że wtedy już byśmy tej rozdzielności nie mieli. I OK, jeśli ktoś nie chce mieć rozdzielności, to w porządku. Może warto też w tym momencie wspomnieć, jeszcze na chwilę wracając do dzielenia przez 0: są takie struktury matematyczne zwane kołami. One nie są zbyt szeroko znane, bo nie są zbyt przydatne.

K.G.: Pewnie nie mają nic wspólnego z kołami.

T.M.: No tak, trochę graficznie, takie archetypowe koło ­– w rozumieniu tej struktury – że ma taką graficzną… Nieważne. W każdym razie tam definiuje się dzielenie przez 0; to jest dobrze zdefiniowany wtedy obiekt. Jest ono dalej w pewnym sensie odwrotne do mnożenia, tyle tylko, że to mnożenie w tych kołach to już właśnie nie jest… Nie pamiętam, czy nie jest rozdzielne, czy co z nim jest nie tak… Nie do końca zasługuje na nazwę mnożenia, ale jest to jakaś tam struktura algebraiczna, która coś tam może modelować. Chociaż ja z niej osobiście na przykład nigdy nie korzystałem, to już jakaś algebra abstrakcyjna. Więc są takie konteksty, gdzie można to dzielenie przez 0 definiować, tylko trzeba wtedy pamiętać, że to czasem jest taka trochę logiczna krótka kołdra – jeśli na siłę sobie wprowadzimy, żeby dało się robić jedno, to już trzeba się pogodzić z tym, że nie będzie się dało robić czegoś innego. W takiej szkolnej matematyce, w takiej szkolnej arytmetyce wygodnie przyjmować właśnie takie zasady, jakich nas uczą w szkole.

K.G.: Mamy sobie oś liczbową. Na środku jest 0. Przesuwamy się w prawo, to mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6 i tak dalej. W lewo – przynajmniej tak jak sobie to w naszej kulturze ułożyliśmy, mamy w prawo i w lewo, w sumie można by pewnie to zapisać zupełnie inaczej – to mamy -1, – 2, -3 i tak dalej. Czyli mamy już nasze dwa zbiory: liczby naturalne i – biorąc pod uwagę obie strony – mamy liczby całkowite. A liczby wymierne? Przypomnijmy, które to są, bo one też są na tej osi.

T.M.: Tak. Znaczy przez oś rozumiesz już taką ciągłą linię czy tylko takie kropeczki obok siebie?

K.G.: Na razie kropeczki.

T.M.: Na razie mamy kropeczki.

K.G.: I wiem, że będziemy wypełniać przestrzenie pomiędzy tymi kropeczkami.

T.M.: Tak, no właśnie, bo oś liczbowa jest takim bardzo wygodnym graficznym przedstawieniem liczb, bo wtedy od razu widać, która liczba jest większa od której. Ta, która jest bardziej na prawo, jest większa. No i też ta graficzna reprezentacja ma naturalne w sobie miejsce, gdzie upchnąć te liczby wymierne. Wiadomo, jest to takie właśnie naturalne, że ułamek ½, taka połówka, powinna być w połowie drogi pomiędzy kropeczką oznaczającą 0 i kropeczką oznaczającą 1. 1/3 powinna być w jednej trzeciej tej odległości pomiędzy zerem i jedynką. No i ogólnie każdy taki ułamek, każda liczba wymierna znajdzie sobie swoje miejsce na tej osi, tutaj się zrobi tak nieskończenie gęsto tych kropeczek. Między zerem i jedynką będzie nieskończenie wiele kropeczek, tam będą wszystkie ułamki. I w tym momencie mamy już wszystkie liczby wymierne, ale okazuje się – może też to jest troszeczkę nieintuicyjne w pierwszym momencie – że to jeszcze nie są wszystkie liczby rzeczywiste, chociaż między 0 i 1 już upchnęliśmy nieskończenie wiele tych kropeczek, to okazuje się, że tam wciąż zieją dziury.

K.G.: Dobra, czyli mamy dziury, chociaż wsadziliśmy tam nieskończenie wiele wymiernych punkcików.

T.M.: Tak.

K.G.: Aha, świetnie.

T.M.: Na przykład pierwiastka z dwóch przez dwa tam nie ma. Albo tego słynnego złotego podziału, który wszyscy lubią, bo to też jest liczba niewymierna, chociaż ona jest większa od 1 akurat.

K.G.: Albo liczba zupełnie elementarnej geometrii, czyli liczba pi.

T.M.: Czy liczba pi, tak. Ona też jest niewymierna, chociaż też, co ciekawe, stosunkowo późno udało się to udowodnić, bo dopiero gdzieś w XVIII wieku. Tak, liczby pi też na razie – po tym, jak dosypaliśmy ułamki – jeszcze tutaj nie ma. Na razie nie należy sobie wyobrażać tej naszej osi liczbowej jako takiej już ciągłej linii, tylko taką bardzo gęsto kropkowaną linię. Nieskończenie wiele tych kropeczek, ale tam jednak jest też nieskończenie wiele takich pustych kropeczek. Dopiero jak teraz weźmiemy ołówek czy długopis i pociągniemy tę krechę, nie odrywając jej, to w tym momencie – tak metaforycznie oczywiście mówiąc – w tym momencie dopiero dorzuciliśmy te liczby niewymierne. I teraz dopiero mamy już taką prawdziwą, ciągłą, prostą oś liczbową.

K.G.: I to jest oś liczbowa liczb rzeczywistych.

T.M.: Tak zwanych liczb rzeczywistych, chociaż ta nazwa jest bardzo myląca moim zdaniem.

K.G.: A dlaczego?

T.M.: Z wielu powodów. Ja teraz tak powiedziałem, że te liczby niewymierne dorzucimy po prostu biorąc ołówek i robiąc taką ciągłą krechę. To nie jest oczywiście rygorystyczna matematyczna konstrukcja. To, jak zapełnić te dziury pomiędzy liczbami wymiernymi – tak porządnie, rygorystycznie matematycznie – to też właściwie udało się porządnie zrobić dopiero w XIX wieku, i to w drugiej połowie XIX wieku. Wszyscy oczywiście uczymy się w szkole, że liczby rzeczywiste możemy na przykład uzyskać w ten sposób, że jak sobie zapiszemy liczbę wymierną jako ułamek dziesiętny, to po przecinku, jeśli to była liczba wymierna, to te cyfry zaczną się w tym momencie powtarzać; a liczby rzeczywiste to są te rozwinięcia dziesiętne, które są nieokresowe, które nigdy nie zaczynają się powtarzać. No ale znowu: tak rygorystycznie, gdyby chcieć to zrobić, to trzeba to jeszcze cwaniej zrobić, bo jeśli się to robi przez rozwinięcia dziesiętne, to tam jest jeszcze pewna niejednoznaczność, którą trzeba zwalczyć. Porządna definicja liczb rzeczywistych została uzyskana mniej więcej wtedy, co porządna definicja liczb naturalnych, czyli pod koniec XIX wieku. Mówię też o tym w swoim wykładzie z cyklu „Zacznijmy od zera” w odcinku poświęconym liczbom rzeczywistym. To są tak zwane przekroje Dedekinda. I to już właśnie nie jest takie proste, jak się okazuje, żeby tak porządnie, matematycznie, ściśle przejść z poziomu liczby wymiernych do poziomu liczb rzeczywistych, które już zawierają zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. To nie jest tylko dorzucenie na przykład pierwiastków.

K.G.: A co to jeszcze jest? Bo tak sobie wyobrażam, że to musiało jakiś straszny ból głowy powodować.

T.M.: Oj, powodowało.

K.G.: Właśnie te liczby niewymierne, z którymi trochę nie wiadomo co zrobić w ogóle.

T.M.: Tak. Już wspomniałem, że pierwszą taką liczbą niewymierną, o której dowiedzieliśmy się, że jest niewymierna, był pierwiastek z 2 – ta przekątna kwadratu o boku 1. Ten nieszczęsny Hippazos, którego utopili. Wydawać by się mogło: aha, no to teraz po prostu dorzucamy wszystkie pierwiastki, pewnie najlepiej z liczb wymiernych, pewnie nie tylko kwadratowe pierwiastki, ale też pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwartego stopnia – no i już, mamy teraz nowy, szerszy system liczbowy, który już będzie zawierał wszystkie niewymierne. Ale nie, okazuje się, że w ten sposób – dorzucając tylko pierwiastki, czy też ogólniej: liczby będące rozwiązaniami równań wielomianowych o całkowitych współczynnikach – uzyskamy tylko tak zwane liczby algebraiczne. To już jest znacznie większy zbiór liczb niż liczby wymierne, ale liczb niewymiernych jest jeszcze więcej. Na przykład liczba pi, już tutaj wspomniana, nie jest pierwiastkiem z żadnej liczby. Nie jest rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego. Jest tak zwaną liczbą niewymierną przestępną – albo niealgebraiczną. Wszystkie tego typu liczby musimy dosypać. Wszystkie te nieokresowe rozwinięcia dziesiętne. I ich, okazuje się, jest znacznie, znacznie więcej – w takim silnym sensie – niż liczb wymiernych. I dopiero wtedy mamy tak zwane liczby rzeczywiste. To jest bardzo nieintuicyjne, bo w ogóle wyobrazić sobie takie nieskończone rozwinięcie dziesiętne, które nigdzie się nie powtarza, nigdzie nie staje się okresowe, też wymaga pewnej gimnastyki umysłowej.

K.G.: W ogóle nieskończoności wymagają ogromnej gimnastyki umysłowej. Chociaż ma to różne poziomy trudności, no bo taka zwykła nieskończoność: 1, 2, 3, 4, 5, 6 i tak dalej – to, wydaje mi się, że w miarę jesteśmy w stanie ogarnąć: że zawsze można dopisać jeszcze jedynkę, zawsze można dopisać zero. Okej, no i to jest coś nieskończonego. Ale to, że jeśli dodamy do tego nieskończoność liczb ujemnych, i to ma być większa nieskończoność od tej nieskończoności tylko liczb naturalnych – to to już trochę powoduje, że czacha mi dymi. No jak coś jest nieskończone, no to jest nieskończone, więc jak jedna nieskończoność może być większa od drugiej? Jak mogliśmy poupychać nieskończoną liczbę nowych liczb między tym obszarem między zero a jedynką, chociaż już wcześniej tam wsadziliśmy nieskończoność liczb wymiernych. A potem jeszcze tam wsadziliśmy nieskończoność liczb niewymiernych. No to przecież to – wiem, że nie można tak mówić matematykom – ale to nie ma sensu, że tak powiem, w głębi serca.

T.M.: Z nieskończonością trzeba bardzo uważać. I to jest przestroga też dla początkujących, a nawet zaawansowanych matematyków. Okazuje się, że gdy w grę zaczyna wchodzić w nieskończoność, to wszelkie intuicje, nawet takie najbardziej niewinne i takie najbardziej oczywiste, już zawodzą. Z nieskończonością to był jeszcze większy problem niż zerem. Grecy to już nawet na zero patrzyli bardzo podejrzliwie, ale na nieskończoność byli chyba jeszcze bardziej cięci. A może to nawet były dwie strony tej samej monety u nich: lęk przed zerem z jednej strony, a lęk przed nieskończonością z drugiej strony. Nawet mówiło się o tak zwanym horror infiniti – tylko to już potem po łacinie – czyli lęk przed nieskończonością. Ale w matematyce, okazuje się, w tych badaniach nad nieskończonością jednak udało się pewne rzeczy ustalić. Znowu już zapominając o tym, że Grecy się tego bali i że właśnie nieskończoność w ogóle wykracza poza prostą rzeczywistą. To nie jest liczba rzeczywista, żeby nie było. W ogóle można się spotkać z takim stwierdzeniem, które ma chyba uspokajać, że nieskończoność nie jest liczbą, tylko to jest pojęcie. To nie jest dobry slogan. Nawet gdzieś tam na kanale Veritasium się spotkałem z takim stwierdzeniem. To nie jest dobre podsumowanie sprawy. Ono też w ogóle nie uspokaja, przynajmniej mnie, bo liczby też są pojęciami, to są abstrakcyjne obiekty. A nieskończoności, okazuje się, też można do pewnego stopnia traktować jako tak zwane liczby pozaskończone, zaraz do tego przejdę. W każdym razie faktem jest, że matematycy nieskończoności się bali, uważali ją za nie do końca sensowne pojęcie – znowu aż do końcówki XIX wieku. Wiadomo było, że nieskończoność prowadzi do jakichś dziwnych paradoksów. O jednym tutaj wspomniałaś: że właśnie mamy nieskończenie wiele liczb naturalnych i mamy też nieskończenie wiele liczb ujemnych. No to teraz jak sobie rozważymy wszystkie razem te liczby całkowite, i dodatnie, i ujemne, to wydaje się, że dodaliśmy do siebie dwie nieskończoności i cały czas mamy nieskończoność. Nie zachowuje się to jak liczba, bo jednak jak sumujemy x i x, to powinniśmy dostać 2x, które będzie czymś innym niż x, a nieskończoność się tak zachowywała.

K.G.: Tak, ale jednocześnie mówicie mi, matematycy, że jedna nieskończoność jest większa od drugiej.

T.M.: Tak.

K.G.: Ja już bym wolała, żeby ona była taka sama.

T.M.: Tak, rzeczywiście, ja też bym tak wolał. I dlatego właśnie ten matematyk, który to zmienił, który odkrył, że tak nie jest, Georg Cantor, pod koniec XIX wieku, spotkał się…

K.G.: Przeżył czy też go utopili?

T.M.: Wtedy, powiedzmy, że świat był trochę bardziej cywilizowany. Ale tylko trochę, bo jego dawny nauczyciel Leopold Kronecker, też wybitny matematyk skądinąd, tak mu się nie podobało, że Cantor w ogóle zajmuje się takimi rzeczami, że robił wszystko, żeby zniszczyć biednego Cantora i publicznie go wyzywał od szarlatanów, a nawet – najbardziej lubię to określenie – wyzywał go od deprawatorów młodzieży. Bardzo poważnie traktował tę sprawę.

K.G.: Żebyśmy teraz mieli deprawację tylko na głowie, toby było dobrze.

T.M.: I sam Cantor… Chcę, żeby to wybrzmiało. To nie jest tak, że Cantor któregoś dnia wstał, zjadł śniadanie i stwierdził: a, założę sobie, że nieskończoności są różne. To nie tak było. Cantor do pewnych matematycznych swoich badań potrzebował doprecyzować pojęcie zbioru. To było jedno z tych pojęć, które wydawało się oczywiste, intuicyjne, ale okazało się wymagać bardziej rygorystycznego potraktowania. Gdy Cantor potraktował je trochę bardziej rygorystycznie, to właśnie ze zdumieniem stwierdził, że dwa zbiory nieskończone – właśnie mimo tego, że są nieskończone, że nie ma takiej liczby naturalnej, która by opisywała liczbę obiektów tych zbiorów – mogą mieć jednak różne rozmiary. Jeden może być większy od drugiego, gdy przyjmiemy pewną taką też bardzo intuicyjną i prostą definicję tego, co to znaczy, że dwa zbiory mają tyle samo elementów. No i okazało się, że owszem, liczby naturalne i liczby całkowite mają tyle samo elementów, one spełniają te definicje równoliczności Cantora – i okej, wydaje się, że wszystko jest okej. To są dwa zbiory nieskończone, więc mają tyle samo elementów. No ale właśnie Cantor wkrótce odkrył, że są takie zbiory nieskończone – i to bardzo proste, zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb rzeczywistych – które już nie spełniają tej definicji równoliczności. Tej – znowu – takiej krystalicznie jasnej definicji równoliczności; to właśnie tak należało definiować, co to znaczy, że dwa zbiory nieskończone mają tyle samo obiektów. A okazało się, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb rzeczywistych tej definicji nie spełniają. Nieskończoność typu liczb naturalnych i nieskończoność typu liczb rzeczywistych okazały się nierówne. I Cantor bardzo szybko uogólnił to twierdzenie, stworzył wręcz taką maszynkę do generowania coraz większych nieskończoności, których zresztą sprytnie marketingowo nie nazywał nieskończonościami, tylko liczbami pozaskończonymi, żeby…

K.G.: Nie denerwować za bardzo.

T.M.: Tak, to miało mieć taki wydźwięk, że to nie są nieskończoności jakieś aktualne, bo to tak też się nazywało filozoficznie, tylko to są pewne nowe rodzaje liczb większe od wszystkich liczb naturalnych, ale które też tworzą pewną hierarchię, pewien system i rzeczywiście coś opisują – a mianowicie opisują rozmiary różnych znanych z matematyki zbiorów. Więc okazuje się, że nieskończoność typu liczb naturalnych to jest najmniejsza możliwa nieskończoność, tak zwana, alef zero. Cantor miał korzenie żydowskie, więc użył właśnie hebrajskiej litery alef z indeksem zero, co już sugeruje, że będą następne. Nieskończoność typu liczb rzeczywistych oznaczył taką gotycką literą c i nazwał continuum. Do dziś nie wiemy – i nie możemy wiedzieć – który to jest alef. To jest tak zwana hipoteza continuum, może w to nie wchodźmy. I Cantor udowodnił, że jak teraz rozważymy zbiór wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, to to będzie już większe niż continuum, a następnie jak rozważymy zbiór podzbiorów zbioru podzbiorów wszystkich liczb rzeczywistych, to to będzie jeszcze większa nieskończoność. No i kontynuując ten proces brania podzbiorów, okazuje się, że mamy nieskończenie wiele coraz większych nieskończoności. A to tylko czubek góry lodowej.

K.G.: Jak to? Wydawało się, że to już jest koniec: nieskończenie wiele nieskończoności.

T.M.: Nie, to był tylko początek. Już Cantor odkrył – czy skonstruował – w ogóle drugi rodzaj liczb pozaskończonych, który był jeszcze bogatszy i który też jest bardzo przydatny w matematyce. To są tak zwane liczby porządkowe, one nie nazywają się zbyt romantycznie. Można powiedzieć, że to jest takie uogólnienie numerów na nieskończone zbiory. Tutaj te liczby służą nie do zliczania obiektów, tylko do ich numerowania. Okazuje się, że jak przechodzimy do nieskończoności, to pojęcia numeru i liczby już nie są synonimami. Numerów jest więcej niż liczb w pewnym sensie.

K.G.: Okej.

T.M.: A później, już w XX wieku, okazało się, że można jeszcze bogatsze systemy liczb nieskończonych konstruować. Okazało się, że udało się też rygorystycznie, ściśle matematycznie zdefiniować liczby nieskończenie małe, a nawet stworzyć takie systemy, w których były liczby nieskończenie wielkie, nieskończenie małe, które można było dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, potęgować, a nawet logarytmować i pierwiastkować. Ale to już wchodzimy na bardzo, właśnie, takie ostateczne tematy. W pewnym sensie wręcz doszliśmy już do końca tej historii z tymi coraz większymi nieskończonościami, bo ten ostatni system, o którym tutaj myślałem, opowiadając o tych pierwiastkach i logarytmach z liczb nieskończonych, to mam na myśli tak zwane liczby nadrzeczywiste, odkryte przez Johna Conwaya raptem 51 lat temu. Niezupełnie przypadkiem, ale on nie chciał stworzyć nowego systemu liczbowego, tylko one mu niejako same wyszły. Tam właśnie da się…

K.G.: To ta potęga matematyki, że ona się czasami sama wpycha na salony.

T.M.: Tak, zresztą wiele tych egzotycznych rodzajów liczb, to jakby sama matematyka domagała się ich rozważania. Sama podsuwała matematykom, że warto się tym zainteresować.

K.G.: Czyli nieskończoność liczb naturalnych jest mniejsza od nieskończoności liczb rzeczywistych, a nieskończoność liczb naturalnych jest mniejsza od nieskończoności liczb całkowitych? Bo ja zaczęłam od tego przykładu, ale teraz nie jestem pewna.

T.M.: A, to nie. Tutaj właśnie zapomniałem powiedzieć, że to był zły przykład.

K.G.: Okej.

T.M.: Bo liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo w sensie Cantora. To są zbiory równoliczne. Może trzy słowa, co znaczy równoliczne, bo to można w miarę prosto zrozumieć. Gdybyśmy nie umieli liczyć, nie znali pojęcia liczb, a jednak chcieli stwierdzić, że dwa zbiory – jakieś skończone, dla uproszczenia – mają tyle samo elementów, to moglibyśmy to zrobić tak, że… Na przykład mam dla pudełka zapałek i chcę stwierdzić, czy w jednym pudełku zapałek jest ich więcej niż w drugim, czy jest tyle samo. Nawet gdybym nie umiał liczyć, to mógłbym teraz zrobić tak: wyciągałbym po jednej zapałce z każdego pudełka i odkładał na bok. Potem wyciągam po jednej znowu, odkładam na bok. Jeśli okaże się, że opróżnię te dwa pudełka w tym samym momencie, że udało mi się sparować zapałki z jednego pudełka z zapałkami z drugiego pudełka, no to to oznacza, że tych elementów było tyle samo, mimo że w żadnym momencie nie umiałem liczyć, nie używałem liczb. I Cantor zauważył, że taką procedurę porównywania liczności – nawet nie liczenia, tylko porównywania liczebności, liczności – można rozciągnąć na zbiory nieskończone. I teraz zwróć uwagę, że jak w tym jednym pudełku zapałek będziesz mieć liczby naturalne, a w drugim pudełku zapałek będziesz mieć liczby całkowite, to możesz takiego sparowania dokonać. Jak tu wyciągam zero, najmniejszą liczbę naturalną, przyjmijmy, to tutaj mogę z tego drugiego pudełka z liczbami całkowitymi też wyciągnąć zero. Zero paruję z zerem, odkładam na bok. Teraz wyciągam z pudełka N jedynkę i z tego wyciągam jedynkę – i też mam sparowanie. Teraz wyciągam z liczb naturalnych dwójkę, a liczb całkowitych wyciągam, uwaga, minus jedynkę – i paruję je ze sobą. I tak teraz sobie będę wyciągał z pudełka z liczbami naturalnymi kolejne liczby naturalne, a z pudełka z liczbami całkowitymi – tak na zmianę: liczbę dodatnią i odpowiadającą jej liczbę ujemną, potem znowu dodatnią o jeden większą i ujemną, potem dodatnią, potem ujemną. No to każdej liczbie naturalnej jednoznacznie przyporządkuję liczbę całkowitą. I to już oznacza w tym sensie definicji Cantora, że te dwa zbiory są równoliczne. Cantor udowodnił, że równoliczne będą zbiory liczb naturalnych i całkowitych, a nawet liczb naturalnych i liczb wymiernych. Liczb naturalnych i liczb rzeczywistych już nie. Już nie da się tak sparować elementów zbioru N elementami zbioru R, żeby były równoliczne.

K.G.: Jak myślisz czy jak czujesz – w momencie, kiedy na przykład Cantor – nie wiem, czy on gdzieś notował jakieś z tym związane przemyślenia, ale skoro zajmował się czymś, co w tamtym czasie było, jak rozumiem, trochę na obrzeżach matematyki, tak rozpychał się w tym świecie i miał zresztą wrogów, jak mówiłeś, to jest bardziej ekscytujące czy niewygodne?

T.M.: Myślę, że Cantor czuł taką… Zmagał się bardzo mocno, zresztą przeszedł kilka załamań nerwowych, które po części były związane z tym, że właśnie go tak niszczyli ci matematycy ówcześni, a z drugiej strony też po prostu bardzo ciężko pracował i z pewnymi twierdzeniami zmagał się bardzo długo, na przykład z tą hipotezą continuum, o której wspomniałem i której wiemy dziś, że nie mógł udowodnić, że to go też zaprowadziło właśnie do sanatorium czy tam zakładu dla obłąkanych. Na szczęście doczekał uznania swojej pracy , bo już na takim wielkim kongresie matematyków na początku XX wieku bardzo silna była też taka frakcja matematyków, która dostrzegła głębię i po prostu przydatność tych narzędzi, które Cantor stworzył. Ci matematycy, na czele z bardzo wybitnym ówczesnym matematykiem Davidem Hilbertem, jakby zrozumieli, że gdy odłoży się na bok jakieś takie filozoficzne uprzedzenia, które żywił na przykład Kronecker do tej nieskończoności, gdy się tak spojrzy uczciwie na to, co Cantor zrobił, no to po prostu stworzył nowe, potężne narzędzie wolne od sprzeczności – co też nie było oczywiste na początku, ale wtedy już stawało się jasne, że tam żadnej sprzeczności raczej nie ma. Po prostu trzeba to przyjąć, bo to się przydaje. Chyba to on tak to ładnie podsumował, że z tego raju, który stworzył nam Cantor, nie wygna nas już nikt.  Zresztą już wkrótce po śmierci Cantora okazało się, że te jego nieskończoności siedzą w matematyce – czy tego chcemy, czy nie, bo po prostu logicznie wynikają z aksjomatów teorii mnogości, które do dziś przyjmujemy.

K.G.: Wracając do naszej osi liczbowej: wydawało się, że już wszystko załatwiliśmy, czyli wypełniliśmy przestrzenie między… trzymajmy się naszego: między zerem a jedynką. Wypełniliśmy najpierw nieskończoną liczbą… Czy ilością? Chyba ilością.

T.M.: A, to już tylko językowe jakieś…

K.G.: To teraz poloniści z kolei ostrzą zęby i zakasują rękawy. Ilością liczb niewymiernych. Potem dołożyliśmy wymierne. Super, mamy cały zestaw, cała linia jest wypełniona, wszystko jest załatwione. Ale nie, bo jeszcze można dać oś pionową przechodzącą przez zero – i oto uzyskujemy możliwości opisywania liczb na zasadzie współrzędnych.

T.M.: Tak, już mamy nie prostą, nie oś liczbową, tylko płaszczyznę liczbową w pewnym sensie.

K.G.: No i wyobraźcie sobie to albo narysujcie na kartce: macie tę oś liczbową, niech ona sobie idzie w prawo. Zaznaczamy zero. Do góry idzie oś… urojona?

T.M.: Urojona.

K.G.: I teraz gdzie sobie nie zaznaczycie, w różnych tych ćwiartkach, to tam są kolejne liczby opisywane właśnie przez współrzędne. No to znowu jakiś gigantyczny świat został odkryty – bo chyba nie wymyślony, raczej odkryty.

T.M.: Raczej odkryty, bo oczywiście historycznie to nie tak było. Taka właśnie reprezentacja zbioru liczb zespolonych, bo tak się nazywają obecnie, w postaci płaszczyzny liczbowej, to to jest dopiero początek XIX wieku. Ale liczby zespolone są właśnie świetnym przykładem na to, jak matematyka tak sama domagała się, żeby pewien nowy obiekt rozważać. To nie było tak znowu, że ktoś któregoś dnia obudził się i stwierdził: a, załóżmy, że da się wyciągnąć pierwiastek z minus jedynki (bo to jest podstawowa rzecz, która się w liczbach zespolonych pojawia) i zobaczmy, co z tego wynika. To nie było tak. Tu historia jest dosyć długa i zawiła, więc będę skracał, ale przenieśmy się na chwilę do renesansowej Italii, do północnych Włoch, gdzie jeszcze przed upowszechnieniem druku po prostu matematycy byli potrzebni na dworach, żeby przede wszystkim stawiać horoskopy władcom. O randze matematyka, takiego właśnie z tamtych czasów, świadczyło to, jak wiele zadań potrafi rozwiązać. I żeby zareklamować się wśród takich mecenasów, wśród sponsorów, przyjęło się, że matematycy wyzywali innych matematyków na pojedynek. Pojedynek polegał na tym, że jeden matematyk przedstawiał jakąś listę zadań i ten drugi miał ją rozwiązać. I ten drugi matematyk też przedstawiał liczbę zadań, który ten pierwszy matematyk miał rozwiązać. To były zwykle takie zadania, dzisiaj byśmy powiedzieli: szkolne. Jakieś konstrukcje geometryczne albo jakieś równania wielomianowe. Trzeba wspomnieć, że wtedy ludzie umieli rozwiązywać równania kwadratowe, takie, których my też się tam w szkole uczymy: że tam się jakoś deltę liczy, rysuje się jakąś parabolę czasami. To były równania kwadratowe i je umiano rozwiązywać, już Babilończycy umieli w starożytności. I powoli ludzie uczyli się też rozwiązywać dużo bardziej skomplikowane równania sześcienne, gdzie już najwyższą potęgą jest nie x do drugiej, tylko x do trzeciej. Pewne typy takich równań – czy podtypy takich równań – wtedy umiano rozwiązać i one się już też pojawiały w tych pojedynkach. I któregoś razu jeden z matematyków zadał drugiemu taką listę, która w całości sprowadzała się właśnie do równań stopnia trzeciego. To był taki matematyk Antonio Fior, którego mistrz Scipio del Ferro odkrył właśnie sposób rozwiązywania pewnego typu równań. Zadał te równania matematykowi Niccolo Fontanie, który miał pseudonim Tartaglia, czyli jąkała, bo się jąka, bo w młodości dostał mieczem chyba przez żuchwę, to spowodowało wadę wymowy. Tartaglia był bardzo dobrym i przenikliwym matematykiem i gdy zobaczył, że dostał listę zagadnień, gdzie wszystkie zadania właśnie były równaniami stopnia trzeciego, to stwierdził: oho, on chyba umie rozwiązywać, czyli da się to zrobić. No to dobra, nie mogę stracić tutaj pracy, bo jak przegram pojedynek, to stracę pracę. Skoro już wiem, że się da, to spróbuję to zrobić. Ten pojedynek trwał 50 dni. 50 dni na rozwiązanie. I na tydzień przed terminem udało mu się znaleźć to rozwiązanie – bo już wiedział, że się da, więc po prostu próbował, aż mu się udało. Oczywiście wygrał ten pojedynek. Ten Fior już zniknął z historii potem, odszedł w niesławie, a Tartgalia stał się sławny. W tym algorytmie rozwiązywania tych równań czasem właśnie pojawiały się pierwiastki z liczb ujemnych. I to było dziwne. To było, dzisiaj byśmy powiedzieli pewnie: takie niefizyczne czy absurdalne w każdym razie. Ale prowadziły do poprawnych rozwiązań, więc jeśli przymkniemy oko na to, że z liczb ujemnych przecież nie da się wyciągać pierwiastków…

K.G.: Nie ma pierwiastka z ujemnej liczby kóz.

T.M.: To nawet matematycznie nie miało sensu, no bo jaka jest definicja pierwiastka kwadratowego? Pierwiastek kwadratowy z jakiegoś tam x to jest taka liczba, która podniesiona do kwadratu, pomnożona przez siebie, da x. Jak weźmiesz liczbę dodatnią, przemnożysz ją przez siebie, to wynik będzie dodatni. Jak weźmiesz liczbę ujemną, pomnożysz ją przez siebie, wynik też będzie dodatni. Nie da się uzyskać w wyniku kwadratowienia, w wyniku podnoszenia do kwadratu, liczby ujemnej. No ale jak się właśnie przymknęło na to oko, to te wzory działały. Potem ta historia Tartaglii staje się jeszcze dziwniejsza, bo zainteresował się tym inny wybitny matematyk z tamtych czasów. Bardzo ciekawa postać, Gerolamo Cardano, który chciał napisać książkę właśnie z algebry i bardzo chciał poznać te wzory. Nie był w stanie ich samemu wyprowadzić i tak długo męczył tego Tartaglię kijem i marchewką, aż w końcu ten Tartaglia mu wyznał, jak rozwiązuje się te równania, przy czym kazał mu przysiąc, że on tego nie opublikuje. No a Cardano to oczywiście opublikował. Miał jakąś tam wymówkę, bo gdy potem już siadł do tych równań razem ze swoim uczniem, to udało im się to uogólnić, trochę lepiej zrozumieć, jak tamte ujemne rzeczy pod pierwiastkami okiełznać, więc czuł się zwolniony z przysięgi. Opublikował to. No i dzisiaj nazywamy te wzory wzorami Cardano, mimo że wyprowadził je Tartaglia, a wcześniej jeszcze właśnie Scipio del Ferro, więc kolejny przykład na…

K.G.: Wy nie widzicie, ale ja teraz kręcę głową z niesmakiem.

T.M.: To znaczy Cardano był wybitnym matematykiem, to bez dwóch zdań, ale zachował się…

K.G.: Tak, ale współcześnie by wyleciał z uczelni za de facto plagiat, jakby nie dał przypisu. Sobie podkradł po prostu.

T.M.: Właśnie miał pewną wymówkę. Dobrze, żeby tak troszeczkę stanąć w jego obronie, chociaż jest to pewnie rzecz nie do obrony, to on się poczuł zwolniony z tej przysięgi wtedy, jak zorientował się, że ten Scipio del Ferro wcześniej to rozwiązał, ale mu się zmarło. Dotarł do notatek tego zmarłego del Ferro i gdy zdał sobie sprawę, że to są równoważne wzory z tymi, które odkrył niezależnie Tartaglia, to stwierdził: aha, to skoro del Ferro zrobił to wcześniej, to ja wcale nie plagiatuję Tartaglii, mimo że dowiedziałem się o tych wzorach od Tartaglii, tylko po prostu referuję to, co del Ferro odkrył i schował. Bo oczywiście on ich nie opublikował.

K.G.: No tak.

T.M.: Bo chodziło o to, żeby wygrywać te pojedynki. Cardano już nie zależało na tych pojedynkach. On pochodził z bogatej rodziny, pieniądze miał tak że… Chociaż on był chyba też hazardzistą i wszystkie przegrał… No ale nieważne.

K.G.: Matematyk hazardzistą?!

T.M.: Tak, on zresztą…

K.G.: To jak lekarz kopcący fajki, naprawdę. Onkolog, co się płucami zajmuje. Przecież to bez sensu.

T.M.: Ale on dzięki temu, że właśnie interesował się grami hazardowymi, stworzył też podstawy rachunku prawdopodobieństwa.

K.G.: Okej.

T.M.: Rachunek prawdopodobieństwa zaczął się od gry w kości, gdzie obliczał właśnie…

K.G.: I tego nie nauczyło w pewnym momencie, że to nie jest dobry pomysł?

T.M.: A, to możliwe, że już było… To znaczy on potrafił wygrywać w te kości właśnie dzięki temu, że lepiej rozumiał prawdopodobieństwo od innych.

K.G.: Okej…

T.M.: Ale on tam też chyba trochę przepijał i w ogóle był trochę hulaką. W każdym razie… Ale właśnie, gdzie tu w tym wszystkim zespolone? Bo miałem mówić krótko, a się wciągnąłem w tę ciekawą historię, barwną bardzo. Jak już wspomniałem, tam w tych wzorach pojawiały się właśnie czasem pierwiastki z liczb ujemnych. Cardano przymykał na to oko, ale też napisał, że takie pierwiastki z liczb ujemnych… Przypominam, że w tamtych czasach nawet liczby ujemne były jeszcze traktowane podejrzliwie, no to pierwiastek z liczby ujemnej to było coś podwójnie podejrzanego. Nawet tam napisał pod koniec, że to są obiekty tyleż subtelne, co bezużyteczne. Ale gdy znowu pracę Cardana przeczytał inny włoski matematyk Rafael Bombelli, to się zainteresował. Stwierdził: no kurczę, skoro sama matematyka nam podsuwa takie rzeczy, to może odłóżmy na bok te nasze filozoficzne niepokoje i zobaczmy, co ta matematyka mówi. Posłuchajmy matematyki w pewnym sensie. No i Bombelli – trochę podobnie, jak wcześniej ci hinduscy matematycy czy chińscy podefiniowali, jak naturalnie należy mnożyć liczby ujemne, jak wykonywać działania na zerze – tak on przyjrzał się temu, co mówi matematyka na temat arytmetyki liczb zespolonych. No i to działało, nie wychodziła z tego żadna sprzeczność. Nie bardzo było wiadomo, do czego to się odnosi czy co opisuje. Nie oznaczało niczego w geometrii, nie oznaczało liczby kóz. No ale we wzorach Cardano prowadziło do poprawnych wzorów na rozwiązania tych równań sześciennych, a potem nawet stopnia czwartego, bo uczeń Cardana równania stopnia czwartego też w ten sposób rozwiązał. Więc niejako sama matematyka domagała się wyjścia poza oś rzeczywistą, żeby potem wrócić na oś rzeczywistą z rozwiązaniami równań wielomianowych.

K.G.: Liczby urojone, jak rozumiem, jak połączymy je ze zbiorem liczb rzeczywistych, to mamy wtedy liczby zespolone.

T.M.: Tak, może warto, żeby ta definicja wybrzmiała. Mamy właśnie te oś rzeczywistą. Jak sobie dorysujemy taką prostopadłą oś urojoną, to tam taką jednostkę urojoną oznacza się literką i, to jest właśnie pierwiastek z minus jedynki. I teraz liczba zespolona to jest taki obiekt zbudowany z dwóch części: to jest jakaś liczba rzeczywista x, liczba czysto urojona y × i – no i liczba zespolona to jest x + y × i. Dlatego właśnie się mówi „zespolona”, że jest zespolona z dwóch części: części rzeczywistej i części urojonej. I takie rzeczy można dodawać, mnożyć, dzielić nawet. Oczywiście oprócz dzielenia przez zero.

K.G.: To też jest ciekawe, czy to one są urojone, czy one są bardziej rzeczywiste, bo to one są konieczne w mechanice kwantowej przecież. A bez mechaniki kwantowej to przepraszam, ale wszystko leży, świat się rozpada – ale świat się rozpada dosłownie, to znaczy nie mogą istnieć atomy i tak dalej… To jest jakaś absolutna podstawa, nie?

T.M.: Tak, to był jeden też z wielu przykładów w historii matematyki na to, że gdy odważnie wykroczymy poza to, co nam się wydaje takie fizyczne i sensowne, i po prostu posłuchamy matematyki, pójdziemy tam, gdzie ona nas prowadzi, to może się okazać, że doprowadzi nas do głębszego zrozumienia tej fizycznej rzeczywistości. Tak było z liczbami zespolonymi, które… Znowu, to nie było tak, że w czasach Cardano i Bombellego, jak już umiano je dodawać, mnożyć, to już wszyscy się z nimi pogodzili i od tego czasu już je stosowali i byli zadowoleni. Nie. To dalej było takie trochę niechciane dziecko matematyki. Czasem gdzieś tam pokątnie się nimi bawiono, ale dopiero w osiemnastym, a tak naprawdę to w XIX wieku włączono je już do mainstreamowej matematyki. Zdefiniowano je porządnie, doceniono też ich przydatność. Nie tylko okazało się, że upraszczają niektóre obliczenia, upraszczają trygonometrię na przykład, ale – jak już właśnie wspomniałaś – na początku XX wieku one okazały się niezastąpione do sformułowania tej matematyki, która jest potrzebna w mechanice kwantowej. Gdybyśmy wyrzucili przez okno jednostkę urojoną, to nie bylibyśmy w stanie zapisać podstawowych równań mechaniki kwantowej, gdzie ta jednostka urojona tam po prostu jest na wierzchu. Możecie sobie państwo zobaczyć, wpisać równanie Schrödingera i tam po prostu…

K.G.: To i stoi i uwiera.

T.M.: To i stoi i ono musi tam być, bo gdyby go tam nie było, to to równanie już matematycznie byłoby zupełnie inne, już by nie miało takich własności i już by nie prowadziło do wyników zgodnych z obserwacjami.

K.G.: Pani Aleksandra pytała właśnie o liczby zespolone, że ponoć były już rozważane w starożytności, ale to chyba przesada by była takim razie? Wedle naszej wiedzy oczywiście.

T.M.: Tak, na Wikipedii rzeczywiście jest napisane, że u jakiegoś Herona z Aleksandrii… Jak liczył objętość jakiegoś tam ściętego ostrosłupa, wyszedł mu pierwiastek z liczby ujemnej, ale on po prostu się rąbnął, za przeproszeniem. Tak że to nie liczy się jako jakieś matematyczne rozważanie pierwiastków z liczb ujemnych. To dopiero właśnie w renesansie we wzorach Cardano.

K.G.: A powiedz, bo wśród patronów pojawia się pytanie dotyczące systemu dziesiętnego: na ile to, że przyjęliśmy właśnie system dziesiętny, może mieć wpływ na nasze różne kłopoty? Na przykład weźmy tę liczbę pi: 3,14 i tak dalej, i tak dalej. A jakbyśmy używali dwójkowego? Albo jakbyśmy używali szesnastkowego, albo ósemkowy, zdaje się, też jest… To czy przyjęcie innego systemu liczbowego nie niweluje któregokolwiek z tych problemów niewymierności na przykład?

T.M.: Niestety nie. To znaczy to jest rzeczywiście częste pytanie. Spotkałem się, że właśnie o: naukowcy powinni po prostu przejść na system szesnastkowy, dwunastkowy, ósemkowy – różne są pomysły – i wszystko będzie dobrze, wszystko się uprości. Nie wiem, pi będzie skończone, to znaczy rozwinięcie pi będzie skończone i wszystko się będzie doliczało. Nie, ta cecha liczb niewymiernych, której uczymy się w szkole i o której też już wspomniałem – że ich rozwinięcia dziesiętne są nieskończone i nieokresowe – ta cecha jest niezależna od przyjętej podstawy systemu liczbowego. Więc oczywiście liczba pi w systemie dwójkowym czy ósemkowym to będzie jakiś inny ciąg cyfr, ale też będzie nieskończony i nieokresowy. Jednocześnie też, żeby oddać sprawiedliwość, to nie jest tak, że notacja jest bez znaczenia. Już zresztą też o tym tutaj rozmawialiśmy, że to, że w Europie przeszliśmy od notacji rzymskiej do tej pozycyjnej, dziesiątkowej notacji hindusko-arabskiej, to był ogromny krok naprzód, który bardzo uprościł obliczenia, bo wykonywanie nawet jakiegoś tam pisemnego dodawania czy mnożenia na cyfrach rzymskich to jest mordęga. Są jakieś algorytmy, ale to jest znacznie, znacznie bardziej skomplikowane niż dodawanie pod kreską, którego uczymy się w szkole już w tym systemie pozycyjnym, w tym systemie hindusko-arabskim. Więc owszem, notacja może dużo zmienić, ale akurat to konkretne pytanie, czy zamiana systemu dziesiątkowego na dwunastkowy czy szesnastkowy uleczyłaby nieskończoność rozwinięcia liczby pi – tutaj jest to dobrze znany fakt, że to nic jakościowo nie zmienia. Zmienia cyfry, ale dalej jest ich nieskończenie wiele i dalej są nieokresowe. Aczkolwiek jeszcze może o tym wspomnę, bo to jest też ciekawa rzecz: jest jakiś taki klub czy takie stowarzyszenie, jakieś „tuzinowe”, Dozen Society w Stanach i Wielkiej Brytanii, które właśnie…

K.G.: Głoszą prawdę.

T.M.: Znaczy nie, oni… Z matematycznego punktu widzenia pewnie mają słuszność, że trochę wygodniej by było, gdybyśmy jednak posługiwali się systemem pozycyjnym o podstawie 12, a nie 10 – z tego względu, że dwunastka ma więcej dzielników. Dziesiątka dzieli się tylko przez 2 i 5, a 12 to dzieli się…To znaczy jeszcze przez 1, oczywiście, i przez 10, no ale, powiedzmy, takie nietrywialne dzielniki. A 12 dzieli się przez 2, 3, 4, 6. 1 i 12 też. I w efekcie na przykład taki ułamek jak 1/3 już miałby bardzo ładne, skończone rozwinięcie w systemie dwunastkowym. Trzeba by wprowadzić dwie nowe cyfry, oni je nazywają dek i el. Dek oznacza 10, a el to jest 11, skrót od eleven. Nietrudno byłoby sobie jeszcze je zapamiętać, a dzięki temu te długie liczby by się troszeczkę skróciły w zapisie, tabliczka mnożenia ponoć wygląda trochę prościej, mimo że jest większa o dwie kolumny i dwa wiersze. Z matematycznego punktu widzenia to nawet byłoby uzasadnione, no ale oczywiście praktycznie to jest niewykonalne, żebyśmy nagle teraz wszyscy przeszli na system dwunastkowy. Działamy w systemie dwójkowym, oczywiście, gdy programujemy jakieś komputery, prawda, komputery liczą na zerach i jedynkach.

K.G.: Ja tu sobie w międzyczasie wypisałam swoją datę urodzenia po rzymsku i strasznie się namordowałam, żeby to policzyć. Uwaga: dzień, miesiąc, rok. XIII IX MLMDLLLVIII. No…

T.M.: No, strasznie dużo tych znaczków.

K.G.: Właśnie nie wiem, czy się nie pomyliłam. [istotnie, pomyliłam się, powinno być MCMLXXXVIII – KG]

T.M.: Bo to nie jest system pozycyjny. To jest właśnie taki system bardzo niepraktyczny, jak już dzisiaj wiemy, który ma osobne znaki na dziesiątki, osobne znaki na pięćdziesiątki, osobne znaki na setki, na tysiące, na pięćsetki. Tych znaków jest dużo i jeszcze strasznie rozwlekłe się te napisy robią.

K.G.: No, naprawdę. Ale kwestia systemów jest bardzo ciekawa i właśnie patroni o to pytali. Pan Michał: czy jest jakiś konkretny powód, dla którego rozpowszechnił się u nas najbardziej system dziesiętny, a nie na przykład szesnastkowy? Pani Agnieszka: kiedy w Polsce – w Europie może raczej – rozpowszechnił się system dziesiętny i jak to się ma do tego, że używamy czasem do tej pory tuzinów, kop i tak dalej? Tuzin to, przypominam, 12; kopa – 60.

T.M.: To są bardzo fajne pytania. Może zaczniemy właśnie od tego, kiedy się upowszechnił. Jak już wspomniałem, ten system arabsko-hinduski w Europie upowszechnił się w XVI wieku, już w pierwszej połowie. Też oczywiście w różnych fragmentach Europy w różnym czasie, no ale wtedy, powiedzmy, się już on zaczął upowszechniać. Najpierw pewnie u kupców, a potem u uczonych, bo kupcy to jednak byli dużo bardziej praktyczni ludzie. Nawet aż sobie teraz przypomniałem, że chyba gdzieś tam zachował się jakiś zapisek kupca, który jeszcze posługiwał się tymi rzymskimi symbolami, że właśnie bardzo chwalił swoją żonę, że ona mu pomaga dzielić pisemnie. Po prostu on sam nie byłby w stanie tego zrobić. A my wszyscy uczymy się dzielić pisemnie w tym systemie hindusko-arabskim już w trzeciej czy której klasie. Nie potrzebujemy do tego drugiej osoby. System dziesiętny – on w Europie był już obecny wcześniej, bo i Rzymianie, i Grecy przejęli od Egipcjan zresztą to, że ten system też miał podstawę 10, i to było związane z tym po prostu, że mamy 10 palców. Na początku ludzie rachowali na palcach, jak dzieci rachują. Chociaż, co ciekawe – i to jest już częściowo odpowiedź na to drugie pytanie – można sprawniej rachować na palcach, niż tylko po prostu prostując kolejne palce od 1 do 10. I to ma związek właśnie z tym systemem dwunastkowym. Ponoć gdzieniegdzie, chyba w Azji, a może w innych częściach świata też, dalej ludzie, jak liczą na palcach, to nie tak jak my prostują kolejne palce, tylko biorą sobie kciuk i tym kciukiem tak jeżdżą po paliczkach czterech pozostałych palców. I w ten sposób mogą liczyć jedną ręką do 12. A wtedy druga ręka, gdzie już po prostu prostujemy palce, gdy już dojdziemy do 12 na tej prawej ręce…

K.G.: A, okej.

T.M.: Próbuję to opisać słownie, chociaż dużo łatwiej byłoby pokazać. Czyli, proszę państwa, prawą ręką, którą zwykle mamy bardziej sprawną, jeśli jesteśmy praworęczni, mamy kciuk i sobie zaczynamy od małego palca, dajmy na to: od górnego paliczka. I to jest 1. Bierzemy teraz środkowy paliczek małego palca: to jest 2. Idziemy na dół: trzeci paliczek to jest 3.

K.G.: Między tymi kreskami.

T.M.: Tak, między kreskami. Przeskakujemy teraz już na serdeczny palec, na górny paliczek – i to jest 4. Potem 5, 6 – środkowy palec; 7, 8, 9 – palec wskazujący – 9, 10, 11. I 12 – to teraz nam się zeruje, kciuk nie pokazuje nic na prawej ręce, a na lewej ręce prostujemy na przykład kciuk. I mamy już jeden tuzin, co nam sygnalizuje ta lewa ręka.

K.G.: Okej!

T.M.: I w ten sposób możemy doliczyć do 60 właśnie. I dlatego wygodnie było liczyć właśnie do 60. A oprócz tego, oczywiście, ten system oparty na dwunastce i sześćdziesięciu ma tę przewagę nad dziesiątkowym, że – jak już wspomniałem – dwunastka i w efekcie też sześćdziesiątka mają dużo dzielników, więc jeśli, nie wiem, mamy 12 kóz, chcemy podzielić na 4 braci, to nie musimy tych kóz jakoś kroić czy robić jakichś dziwnych umów pomiędzy tymi synami. Każdy dostaje 3 kozy.

K.G.: Jeśli chodzi o liczenie na palcach, to jeszcze pamiętam tę sztuczkę z tabliczką mnożenia razy 9, czyli jak otwieramy dłonie i chcemy zobaczyć, ile jest 9 x 1, no to zginamy kciuk, kciuk na przykład z lewej strony. No to mamy resztę palców: 9. Jak razy 2, to zginamy drugi od końca – i mamy 1 i reszta palców: 18. Fajne to jest, to lubiłam.

T.M.: Fajne, tak.

K.G.: Michał pyta, czy konkretne systemy liczbowe wpływają na postrzeganie otaczającego nas świata. Czy znając na przykład tylko system szesnastkowy, inaczej odbieralibyśmy rzeczywistość, niż opierając się na systemie dziesiętnym?

T.M.: Nie sądzę, bo też nie jest tak, że wszystkie kultury stosowały system dziesiątkowy. Na przykład wspomniani już Babilończycy: oni mieli w ogóle system sześćdziesiątkowy. I to im się sprawdzało, bo znowu: 60 ma dużo ładnych dzielników. Wydaje się, że strasznie dużo cyfr trzeba spamiętać, ale nie, oni tam tym pismem klinowym jakoś tam mieli wypracowany bardzo prosty system, żeby zaznaczać cyfry od 1 do 59. Zero to był po prostu brak symbolu. I to był system pozycyjny, czyli mieli cyfrę sześćdziesiątek, cyfrę trzystusześcdziesiątek i tak dalej. Z kolei u Majów był system dwudziestkowy, bo oni prawdopodobnie liczyli nie tylko za pomocą palców u rąk, ale jeszcze palców u nóg. Tam było ciepło, więc można było mieć te palce u nóg na wierzchu. I no cóż, pewnie troszeczkę inaczej postrzegali rzeczywistość Majowie niż Egipcjanie czy Grecy, ale czy to było jakieś fundamentalnie różne postrzeganie? Raczej nie, raczej bez problemu jesteśmy w stanie przetłumaczyć te operacje arytmetyczne, które wykonywali Majowie w systemie dwudziestkowym, na te nasze operacje w systemie dziesiątkowym. Zresztą starożytni Grecy, co ciekawe, też tak robili. To jest dla mnie też niezrozumiałe, bo wspomniałem, że oni przejęli od Egipcjan taki system, który nie był pozycyjny. Mieli osobne cyfry na od 1 do 9, osobne cyfry na 10, 20, 30 aż do 90 – po prostu brali litery greckie. Ale w tym systemie, gdzie jest aż tyle różnych cyfr i właśnie nie jest on pozycyjny, strasznie trudno się wykonuje obliczenia. A gdy trzeba było jakieś astronomiczne obliczenia tam wykonywać, to po prostu tłumaczyli to na chwilę na system babiloński, który znali – który był pozycyjny, więc wygodnie się tam pracowało, chociaż przy podstawie 60 – i jak już tam dostawali wynik, to tłumaczyli go z powrotem na te niepraktyczne, niewygodne greckie litery, do których jakoś tam byli przywiązani. Więc oni jakby sami przyznawali, że ten grecki system jest niewygodny do obliczeń. Taka jest też inercja umysłowa w matematyce czy gdziekolwiek, że z takich kolein myślowych trudno się wydostać.

K.G.: Ale to też pokazuje właśnie, że matematyka jest poza naszą notacją.

T.M.: Tak.

K.G.: Skoro można było funkcjonować i korzystać z różnych i zapisów, i systemów liczbowych, różnych zapisów cyfr i tak dalej, a de facto robić to samo, czyli liczyć te nasze kozy, te nasze długi czy obliczać właśnie na przykład sprawy związane z astronomią. Pytanie na koniec od Karola: dlaczego liczby pierwsze są takim wyzwaniem dla matematyków?

T.M.: To zależy jeszcze, co rozumieć przez wyzwanie. Dobra, rzeczywiście są takie problemy wciąż otwarte w matematyce dotyczące między innymi liczb pierwszych, które postawiono już w starożytności, a na które wciąż nie umiemy odpowiedzieć. Na przykład już w starożytności zastanawiano się, czy tak zwanych liczb pierwszych bliźniaczych – czyli takich różniących się o 2, na przykład 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19 – czy takich par liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Bardzo proste pytanie. Już Grecy wiedzieli, że samych liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale czy takich właśnie liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele? Tego nie umieli stwierdzić – i my wciąż nie umiemy tego stwierdzić mimo upływu tysięcy lat i takiego przeświadczenia, że ktokolwiek by to rozwiązał, zapisałby się w historii matematyki, zyskałby wieczną sławę. Liczby pierwsze są bardzo ważnym obiektem nie tylko arytmetycznym, ale wręcz matematycznym, bo takie zależności, jakie są między liczbami a liczbami pierwszymi – one w pewnym sensie powtarzają się też w innych strukturach matematycznych. Tak jak mówi się, że liczby pierwsze są takimi atomami arytmetyki – bo z nich można właśnie zbudować wszystkie inne liczby poprzez mnożenie, każda liczba rozkłada się na czynniki pierwsze – to takie zjawisko rozkładu jakiejś skomplikowanej struktury na jakieś cegiełki, ono też w innych działach matematyki jest ważne i tam często takie analogiczne związki się uwidaczniają. Z liczbami pierwszymi ma też związek hipoteza Riemanna, która ma też związek z wieloma innymi głębokimi problemami matematycznymi. Więc każdy postęp w teorii liczb – gdzie liczby pierwsze są takim bardzo podstawowym narzędziem – każdy postęp w tej teorii jest witany z otwartymi ramionami; zwłaszcza że jest to też takie trudne. Warto się tym zajmować, bo – jak już wspomniałem – matematyka często nagradza zajmowanie się jakimiś pozornie niezwiązanymi z czymkolwiek zagadnieniami narzędziami, które potem można zastosować do jak najbardziej bardzo praktycznych rzeczy. Liczby pierwsze też są zresztą tutaj świetnym przykładem, bo to, że ludzie tak długo przez tysiące lat szukali coraz większych liczb pierwszych i jakichś tam narzędzi, które pozwolą dowodzić tych faktów na temat liczb pierwszych, opłaciło się w tym sensie, że w XX wieku okazało się nagle, że liczby pierwsze są świetnym narzędziem do szyfrowania. Są bardzo przydatne w kryptografii – i dziś zresztą te informatyczne metody szyfrowania, zabezpieczania naszych transakcji bankowych są oparte właśnie o duże liczby pierwsze.

K.G.: Opowiedziałeś nam o różnych zbiorach liczb i wydawałoby się, że to już wszystko – ale to jeszcze nie wszystko, prawda?

T.M.: No, to jest, mówię, czubek góry lodowej. Historia z tymi kolejnymi systemami liczbowymi też wcale nie kończy się na liczbach zespolonych. Już w XIX wieku wykroczono poza liczby zespolone. Zdefiniowano tak zwane kwaterniony. Wkrótce okazało się, że nawet wcześniej, gdy rozszerzaliśmy liczby wymierne do liczb rzeczywistych, to da się liczby wymierne rozszerzyć w inny sposób, niż tylko właśnie zasypując te dziury pomiędzy nimi, uzyskując tak zwane liczby p-adyczne.

K.G.: No i gdzie one są? W innym wymiarze tych osi? Jak to widzieć?

T.M.: Ich geometryczna wizualizacja to nie jest po prostu oś, tylko taka fraktalna struktura, okazuje się. One mają zupełnie inną topologię, można powiedzieć też, używając mądrego słowa. I one też się przydają – chociaż, z tego, co wiem, tylko w matematyce na razie. Ale na przykład gdyby nie znano liczb p-adycznych, to pewnie wielkie twierdzenie Fermata by nie padło, bo one tam na przykład się pojawiają jako jedno z narzędzi. Wspomniałem o tych różnych systemach liczb pozaskończonych. Może warto też na koniec powiedzieć coś takiego, że z matematycznego punktu widzenia też już właśnie w XIX wieku nawet zatarła się różnica pomiędzy tym, co jeszcze zasługuje na miano liczb, a tym, co już nie zasługuje na miano liczb. Już po prostu odkryto tyle różnych struktur algebraicznych, że to, czy umówimy się, by nazywać daną strukturę: to są jakieś egzotyczne liczby hiperzespolone, czy też, że to są jakieś inne obiekty, które po prostu też można dodawać, mnożyć, ale one już niczego nie liczą – to już się staje taka w sumie kwestia umowy. Pojęcie liczby w dzisiejszej matematyce – pojęcie liczby jako takiej – nie ma w zasadzie jakiejś ścisłej definicji. Mówimy o liczbach naturalnych, o liczbach rzeczywistych, ale o liczbie jako takiej nie mówimy, bo po prostu granica pomiędzy liczbami a nieliczbami w matematyce już się rozmyła zupełnie.

K.G.: Jeśli czujecie niedosyt, to naprawdę bardzo serdecznie raz jeszcze polecam cykl wykładów Tomka właśnie na kanale na YouTubie Copernicus Center Press. Nie, Copernicus…

T.M.: Copernicus.

K.G.: Copernicus, tak. Z których to wykładów ja się bardzo dużo nauczyłam i jeszcze wszystkich nie obejrzałam, jeszcze przede mną. Wszystkie polecam wam serdecznie. Doktor Tomasz Miller, fizyk matematyczny, znalazł czas dla Radia Naukowego. Dziękuję.

T.M.: Bardzo dziękuję.